شمارش : اگر هر دست ما به‌جای 5 انگشت 4 انگشت داشت ، چه چیزهایی در زندگی روزمره‌مان تغییر می‌کرد ؟

ما به‌طور معمول برای شمردن ، دسته‌های ده‌تایی درست می‌کنیم . ابتدا با 10 تا یکی  - 1 بسته ده‌تایی ، با 10 بسته ده‌تایی  - یک بسته صدتایی و با 10 صدتایی یک بسته هزارتایی درست می‌کنیم و به همین ترتیب ، دسته‌بندی ده‌تایی را ادامه می‌دهیم . نماد 215 نشان می‌دهد که 215 شیء را می‌توانیم در 2 بسته صدتایی ، 1 بسته ده‌تایی و پنج یکی قرار دهیم . سیستم شمارش اعداد بر مبنای 10 به دستگاه شمار هندو - عربی شهرت یافته است . گرچه مفید بودن انگشتان در نمایش اعداد به توسعه وسیعی از سیستمی از اعداد که بر مبنای ده قرار دارد منجر شده است ، لیکن عدد ده به هیچ وجه تنها پایه به کار رفته برای سیستم اعداد نمی‌باشد . سیستم شمارش بابلی‌ها ترکیبی از مبناهای ده و شصت را مورد استفاده قرار می‌داد که نشانه‌های آن امروزه در واحد اندازه‌گیری زمان و زاویه یعنی 60 ثانیه و 60 دقیقه مشهود است ، در گذشته‌های دور عددهای نجومی در مبنای 60 نوشته می‌شد . امروزه در الکترونیک دیجیتال از مبنای دودویی بیشتر استفاده میشود . در طول تاریخ ثبت شده است که پیشرفت جامعه‌های متمدن با توسعه سیستم شمارش اعداد و نوشتار متن گفتار ( کتابت و کتاب نویسی ) همراه بوده که چنین به‌نظر می رسد که همگی ریشه در وحی کتب آسمانی و تاریخ ادیان داشته است . نشانه‌هایی از سیستم‌هایی از اعداد بر پایه سه ، چهار ، پنج ، شش ، هشت ، و بیست در میان سرخ پوستان آمریکای شمالی پیدا شده است . بعضی شواهد از سیستم اعداد بر پایه دوازده را میتوان در مثال اینکه هر فوت دوازده اینچ است یا هر شیلینگ انگلیسی دوازده پنس و یا اینکه هر سال دوازده ماه است و یا شبانه روز دو تا 12 ساعت است و ... ، ملاحظه کرد . اما در جوامع امروزی به‌نظر می‌رسد که سیستم اعداد بر پایه ده برنده شده است . البته نه به‌علت وجود مزایای ذاتی ، بلکه به نظر می‌رسد که به سبب وجود ده انگشت دو دست می‌باشد . عمل‌های حساب دهدهی برای ما به‌خوبی آشنا هستند . دانش آموز دبستانی جدول‌های جمع و ضرب را برای 9 عدد اصلی و صفر به همراه بعضی قواعد برای نگهداشتن یک رقم از یک عمل به عمل بعد یاد می‌گیرد و سرانجام با این قواعد یاد می‌گیرد که عمل‌های حسابی را روی هر دسته پایان داری از اعداد دهدهی انجام دهد . در سیستم‌های اعداد دیگر ، دسته قواعد مشابه برای حساب وجود دارد . بخش زیر این قواعد را برای سیستم دوجینی ( دوازده تایی ) توصیف می‌کند .

سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی :

ما آنچنان به شمارش در سیستم دهدهی عادت کرده‌ایم که وقتی می خواهیم از سیستم اعداد متفاوتی استفاده کنیم ، کاملا مشکل است که بسیاری از عادت‌های فکر کردن را نادیده بگیریم . برای اینکه بعضی از این اشکالات تذکر داده شوند ، ما در باره سیستم دوجینی یا دوازده‌تایی بحث می‌کنیم .

در این سیستم علامتهای زیر را به عنوان نشانه‌های اساسی به کار می‌بریم .

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , D , E

حرف D به جای عدد دهدهی 10 و حرف E به‌جای عدد دهدهی 11 می‌باشد . گیریم  برای جلوگیری از اشتباه کردن آنها را با نامهای دهدهی dec و el بنامیم . عدد بعد از el یک دوجین است که در این طرز نمایش به صورت 10 نوشته خواهد شد . عدد بعدی ، که همان عدد سیزده دهدهی است ، به صورت 11 نوشته می‌شود . از برخی لحاظ بهتر بود که به‌جای علامت‌های 1 تا 9 نیز نشانه‌های کاملا جدیدی برای علامتهای اساسی سیستم دوجینی انتخاب می‌گردید . زیرا کاربرد علامتهای دهدهی قواعد دهدهی را پیشنهاد می‌کنند که در سیستم دوجینی صادق نیستند .

برای مثال ، به‌جای قاعده جمع دهدهی شش به اضافه پنج مساوی یازده ، باید شش به اضافه پنج مساوی el قرار گیرد .

6+5=(یازده دهدهی)=E

قاعده دهدهی شش به اضافه هفت مساوی سیزده ، باید بوسیله شش به اضافه هفت مساوی یک  دوجین و یک تعویض گردد ، یا

6+7=11دوجینی

پس باید دقت شود که دوباره به طرز تفکر قواعد دهدهی برنگردیم . برای علامت‌های اساسی حساب دوجینی یک جدول جمع جدید همچنین یک جدول ضرب جدید باید آموخته شود . برای مثال پنج ضربدر هشت مساوی چهل دهدهی یا سه دوجین و چهار است ، یا

5*8=40=3*12+4=34دوجینی

برای نوشتن اعداد دوجینی به هر اندازه ، سیستم « ارزش محل » را به کار می‌بریم ، یعنی برای تعیین مقدار هر رقم محل آنرا نسبت به ممیز دوجینی ( نه ممیز دهدهی ) در نظر می‌گیریم ، هر محل سمت راست یا سمت چپ ممیز دوجینی از لحاظ  مقدار از محل مجاور خود به اندازه یک ضریب دوجین متفاوت می باشد . به طور مثال :

171دهدهی=3+24+144=3+(12*2)+(12*12*1)=123دوجینی

1.61805555555دهدهی=(12/12/5)+(12/7)+1=1.75دوجینی

سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی می شود که تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یک ، دو ، سه ، چهار ، شش و دوازده بخش‌پذیر است .

بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، بعضی از کسرهای معمولی که در مبنای دهدهی به صورت عددهای کسری متناوب در می‌آیند در مبنای دوجینی چنین نیستند . برای نمونه کسر 3/1 که همان 12/4 میباشد در مبنای دوجینی به صورت 0.4 است . بعضی از کسرهای ساده در مبنای دوجینی به صورت زیر می باشند .

دوجینی 0.2 = دهدهی 12/2=6/1

دوجینی 0.3 = دهدهی 12/3=4/1

دوجینی 0.4 = دهدهی 12/4=3/1

دوجینی 0.6 = دهدهی 12/6=2/1

با وجود راحتی ، مبنای دوجینی احتمالا هرگز برای محاسبات دستی پذیرفته نخواهد شد . ولی لازم است در مباحث بدانیم ، که سیستم شمارش در عالم و هستی  ما بر پایه مبنای دوجینی یا دوازده‌تایی استوار گردیده است